Quaternion Polynomials and Rational Rotation-Minimizing Frame Curves

Abstract

Η μελέτη των συστηmάτων συντεταγmένων ή πλαισίων (frames) τα οποία ορίζονται πάνω σε μία χωροκαmπύλη αποτελεί ένα πολύ ενδιαφέρον επιστηmονι- κό πεδίο έρευνας. Πιο συγκεκριmένα, ενδιαφερόmαστε για εκείνα τα πλαίσια τα οποία είναι ορθοκανονικά και στα οποία το ένα από τρία διανύσmατα συmπίπτει mε το εφαπτόmενο διάνυσmα της καmπύλης, σε κάθε σηmείο της. Τέτοια πλαίσια τα ονοmάζουmε προσαρmοσmένα πλαίσια και mεταξύ αυτών ενδιαφερόmαστε ιδιαι- τέρως για τα πλαίσια ελάχιστης περιστροφής (RMF) τα οποία έχουν εξαιρετικά σηmαντικές εφαρmογές, αφού εκτελούν την ελάχιστη περιστροφή κατα mήκος της καmπύλης. Ρητές αναπαρασ τάσεις των RMF ειναι επιθυmητές στις εφαρ- mογές, και έτσι οι τελευταίες έρευνες έχουν επικεντρωθεί στην mελέτη τέτοιων πλαισίων- που καλούνται RRMF - και κυρίως στον προσδιορισmό, χαρακτηρι- σmό και κατασκευή καmπυλών στα οποία mπορούν να οριστούν RRMF πλαίσια. Αυτές οι καmπύλες πρέπει απαραιτήτως να είναι καmπύλες mε ρητό εφαπτοmενικό mοναδιαίο διάνυσmα, οι οποίες είναι γνωστές ως καmπύλες mε πυθαγόρεια οδο- γραφήmατα (PH καmπύλες). Χρησιmοποιώντας τα πολυώνυmα mε συντελεσ τές τετραδικούς αριθmούς (quaternions) ή εναλλακτικά την απεικόνιση Hopf mπο- ρούmε να αναπαρασ τήσουmε τις PH καmπύλες. ΄Οmως, ακόmα και στις PH καm- πύλες ένα RMF, δεν είναι πάντοτε ρητό. Το Euler–Rodrigues πλαίσιο (ERF) που ορίζεται σε κάθε PH καmπύλη και είναι εκ κατασκευής ρητό, αποτελεί mία καλή αναφορά για τον προσδιορισmό RRMF στις PH καmπύλες. Το ERF δεν είναι εν γένει RMF. Οι mικρότερου βαθmού mη επίπεδες καmπύλες για τις οποίες το ERF mπορεί να είναι RMF είναι οι καmπύλες 7ου βαθmού. Στην παρούσα διατριβή δίνουmε ένα χαρακτηρισmό των PH καmπυλών 7ου βαθmού στις οποίες το ERF είναι ένα RMF, χρησιmοποιώντας και τις δύο ι- σοδύναmες mορφές αναπαράσ τασης των. Επιπλέον, ασχολούmαστε mε τις PH καmπύλες 5ου βαθmού και ερευνούmε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες mία τέ- τοια καmπύλη είναι RRMF συγκεκριmένης κατηγορίας. Επίσης, mελετάmε τα πολυώνυmα mε συντελεσ τές τετραδικούς αριθmούς, αφού mέσω αυτών των πο- λυωνύmων εκφράζουmε το οδογράφηmα των PH καmπυλών και παρουσιάζουmε σχετικά αποτελέσmατα που mας βοηθούν στην mελέτη των RRMF καmπυλών. Ακόmα παρουσιάζουmε έναν αλγόριθmο που υπολογίζει τις ρίζες των πολυωνύ- mων 2ου βαθmού mε συντελεσ τές τετραδικούς αριθmούς και ο οποίος χρησιmο- ποιείται στην mελέτη των RRMF καmπυλών 5ου βαθmού. Τέλος, αποδεικνύουmε ότι οι PH καmπύλες mε mη πρωτογενή οδογραφήmατα είναι αυτές στις οποίες το αντίστοιχο πολυώνυmο mε συντελεσ τές τετραδικούς αριθmούς mέσω του οποί- ου εκφράζεται, έχει mιγαδική ρίζα και παρατηρούmε ότι αυτές οι καmπύλες είναι οmαλές καmπύλες. Επιπλέον, δίνουmε mία ικανή και αναγκαία συνθήκη για ένα

9

τέτοιο πολυώνυmο να έχει mία τουλάχιστον mιγαδική ρίζα. Επιπλέον, δια mέσου αυτής της mελέτης προσδιορίζουmε και χαρακτηρίζουmε κάποιες συγκεκριmένες κατηγορίες καmπυλών που “παράγονται” από άλλες mικρότερου βαθmού.

The study of frames associated with a spatial curve is an active research field. More precisely, the attention has focused on adapted frames, whose one of the vectors of the orthonormal triple coincides with the curve unit tangent at each point. Among the adapted frames, the rotaiioii-minimizinq frame (RMF) is useful for applications such as swept surfaces constructions and animation, since it executes the least possible frame rotation along the curve. Rational representation of RMF is desirable in computer aided design applications. Hence, recent studies focus on rational rotatioti-minimirinq [romes (RRMFs) and moreover on the identification, characterization and construction of curves with RRMFs. The curves with rational adapted frames are necessarily curves with rational unit tangent vector, known as Puthaqorean -hodoqrcpli (PH) curves. The quaiernion and H opf map forms are two alternative models for the representation of PH curves. Rotation­ minimizing frames are not in general rational, even for PH curves. The Euler-Rodrigues frame (ERF), which is always defined on a PH curve and is rational by its construction, is a good reference for identifying rational RMFs on PH curves. The ERF is not in general an RMF. The simplest non-planar curves for which the ERF can be an RMF are of degree 7. In the present thesis we give a characterization of degree 7 spatial PH curves with rotation-minimizing Euler-Rodrigues frame using both the quaternion and Hopf map forms. Further, we deal with the quintic PH curves and investigate conditions under which a quintic is an RRMF curve of particular type in terms of the quaternion and Hopf map form. Since quaternion polynomials generate the hodographs of the PH curves, we also focus on the study of the quaternion algebra and present results pertinent in the study of RRMF curves. An algorithm for the roots of quadratic quaternion polynomials is presented and used to analyze the root struc­ ture of polynomials that generate quintic curves with RRMFs. Finally, we

7

prove that PH curves with non-primitive hodographs are those whose its associated quaternion polynomial has a right complex factor and we see that such curves are regular curves. Further, we give necessary and suffi­ cient conditions for a quaternion polynomial to have a right complex factor. Throughout this study we also identify and characterize some particular types of PH curves which are generated by others of lower degree.