Η εφαρμοφή των διαφορικών εξισώσεων στη χαρτογραφία

Abstract

Η παρούσα μελέτη χωρίζεται σε τρείς ενότητες. Στην πρώτη ενότητα πραγματοποιείται μια σύντομη ιστορική αναδρομή στη χαρτογραφία από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα. Παρατίθεται και σχολιάζεται η προσφορά κάποιων σημαντικών χαρτογράφων/μαθηματικών στη χαρτογραφία, το έργο των οποίων επηρέασε σημαντικά και την εξέλιξη των μαθηματικών. Η δεύτερη ενότητα είναι αφιερωμένη στον Leonhard Euler. Ο Euler εκτός από χαρτογράφος υπήρξε μία από τις μεγαλύτερες μαθηματικές διάνοιες όλων των εποχών. Υπήρξε πρωτοπόρος σε αρκετά θέματα και ο όγκος του έργου του είναι πραγματικά τεράστιος και απροσπέλαστος ακόμα και για το σύγχρονο μελετητή. Το βάθος των θεωρητικών του συλλογισμών, η ευκολία του να χρησιμοποιεί τα μαθηματικά για την επίλυση σημαντικών πρακτικών προβλημάτων και η ικανότητά του στους υπολογισμούς τον καθιστούν συγκρίσιμο με τον Αρχιμήδη. Η ιδιαίτερη αναφορά στον Euler οφείλεται στο γεγονός ότι στην τρίτη ενότητα της εργασίας θα παρουσιάσουμε τις μαθηματικές του ιδέες στην χαρτογραφία. Στην τρίτη ενότητα θα εξηγήσουμε πως ο Euler θεμελιώνει και αντιμετωπίζει με χρήση των διαφορικών εξισώσεων το πρόβλημα της χαρτογραφίας.

This study entitled “The application of differential equations in cartography” is divided into three sections. In the first section there is a brief historical review of cartography from antiquity to the present. Mathematicians, whose work has significantly influenced the evolution of mathematics, have made important contributions in cartography which are cited and commented. The second section is dedicated to Leonhard Euler. Apart from a cartographer, Euler has been one of the greatest mathematical geniuses of all time. He has been a pioneer in several fields and the volume of his work is really enormous and inaccessible even for the contemporary scholar. Euler is distinguished for the depth of his theories, the ease of using mathematics to solve important practical problems and finally his ability to make mathematical computations. The particular reference to him is due to the fact that in the third part of this work we will present his mathematical ideas in cartography. In the third section we will explain how Euler establishes and addresses the problem of cartography using differential equations. Euler proved that there is no ”perfect” or ”accurate” mapping from the sphere to the plane but a map that maintains the distances (relative to some factor) in a series of curves. This result arose from the study of partial differential equations. Considering this negative conclusion, Euler assumed that in order to obtain the most accurate mapping, the best possible approach should be found. He studied systematically the Partial Differential Equations satisfying various projections of the sphere to plane. Euler studied the following three kinds of maps: (1) Maps where the images of all meridians are perpendicular to a given horizontal axis and all parallels are parallel to it. (2) Maps which are conformal. (3) Maps which preserve areas. Here, it is also assumed that the images of all meridians are intersected by the images of the parallels at right angles. In the third section we present geographical maps of each of the three kinds constructed by Euler’s method.